= l La relativité générale matérialisa l'espace-temps. l DEA. .   g s On obtient donc les notions déjà introduites « à la manière d'Élie Cartan ». = + (ou trace du tenseur j ) David Hilbert découvre le relativité générale en 1915/1916 quasiment en même temps qu'Einstein mais par un raisonnement mathématique diffèrent du raisonnement physique d'Einstein. 2 ) R   V ∂ {\displaystyle \partial ^{l}\delta \Gamma _{k}^{ij}=D^{l}\delta \Gamma _{k}^{ij}} {\displaystyle \ \delta S_{g}=0} j p g i δ V − ∂ car = ) ∂ La ligne d'univers que l'on … Ω D 2 d . l t Λ ∫ i un quadri-vecteur dans l'espace tangent au point δ → ∂ i g 2 Γ 2 . R V l R ( = n s ∂ | g et de l'action de la matière, en y incluant le champ électromagnétique, que l'on écrit (   A i Ω V Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. 1 {\displaystyle {\sqrt {-g}}.g_{ij}.\delta R^{ij}={\sqrt {-g}}. ) T d = j l d n Γ g t {\frac {DV^{k}}{ds}}=e.F^{kj}V_{j}}. − T ( i   i , d'où c − 0 j Relativité restreinte :1905 Relativité générale : 1915 Sont essentiellement des théories de l’espace-temps qui ont remplacé les concepts d’espace absolu et de temps absolu de Newton. D j j − x ∫ . {\displaystyle \left(D^{i}D^{j}-D^{j}D^{i}\right)A_{k}=R_{k}^{l,ij}dx_{i}dx_{j}A_{l}} − d m . j ( i l Discussion. s j | = . i d i La relativité générale est d'abord une généralisation aux référentiels accélérés des principes de la théorie de la relativité restreinte. ) g S d Le deuxième cas des équations du champ est le cas où il y a de la matière (localement) : on parle du « cas intérieur », c'est-à-dire « dans la matière ». {\displaystyle \ R=-\chi T} ) i   l ∫ i L 2 l ′ l d ′ . V i j j   {\displaystyle dS=-mc{\sqrt {g^{ij}dx_{i}dx_{j}}}}. Avec la contraction similaire au cas extérieur, sachant que {\displaystyle \ \delta \partial =\partial \delta } d Γ i Les chemins de l'espace-temps par Jean Eisenstaedt - Collection Histoire des sciences - Librairie Decitre ∂ d ) k j j l'action dans deux référentiels différents. 2   {\displaystyle S_{g}=\int Ld\Omega } Description. δ = j . Tout le problème est de savoir ce qu'est une droite quand le système de coordonnées est quelconque, voire dans un espace courbe ; une fois les droites déterminées, la dérivation peut être définie. D k k Une égalité tensorielle démontrée en un point quelconque, mais en utilisant un référentiel particulier, est une égalité vraie en ce point et pour tous les référentiels : c'est là le principal intérêt d'utiliser des tenseurs. Le problème de ta théorie newtonienne, c’est cette mystérieuse action à distance de la force. La première projection publique a eu lieu à l'occasion du centenaire de la Relativité Générale organisé par l'Institut Henri Poincaré. Einstein s'est fait un nom dans le monde de la physique car ses théories de la relativité faisaient des prévisions révolutionnaires. La Relativité Générale La théorie de la gravitation de Newton, publiée en 1687 dans les "Principia Mathematica", a expliqué la chute des corps, le mouvement des planètes autour du soleil, le modèle Copernicien du système solaire, le mouvement des comètes, les lois empiriques de Képler. V l Γ {\displaystyle \ g^{ij}}   j {\displaystyle {\frac {DV_{k}}{ds}}=0}. i ) impose une métrique aux coefficients non triviaux : la générale aborde les objets en accélération et la gravitation. {\displaystyle m.({\dot {V}}^{k}+\Gamma _{ij}^{k}V^{i}V^{j})=e.V_{j}.F^{kj}}, m Dans la physique non relativiste, la géométrie est très simple (elle est dite euclidienne : c'est celle que nous apprenons à l'école, où les parallèles existent et ne se rencontrent … . j Γ 0 2 relativité générale, l’espace-temps3 est représenté par une paire (M, g), où M est une variété 2 Voir par exemple Hawking et Ellis (1973) et Wald (1984). ( ′ 0 . d La théorie de la Relativité Générale d’Albert Einstein a révolutionné notre conception de la gravitation, de l’espace et du temps. ∂ d i D'où, en utilisant le théorème d'Ostrogradski, , en utilisant l'intégration par parties, et le théorème d'Ostrogradski qui permet d'écrire dans un référentiel en apesanteur . ∫ j k K ( Action de Einstein-Hilbert (relativité générale) développée à l’ordre 2 en une petite perturbation h ¹ º au voisinage d’une métrique de fond ´ ¹ º (soit g ¹ º = ´ ¹ º + h ¹ º) Terme de masse de Fierz-Pauli − j ∂ | 0 g l ( . l ne peut en aucun cas avoir de sens. ; =   c d x (Mais en général En remarquant que {\displaystyle \ g^{ij}} V i − d l d Détails justifiants la densité lagrangienne. 0 Λ g l = j Qu'est ce que la gravitation ? + 1929: … ( . x δ R . . + 1 i l d d et en posant k ∫ i ; . Ω ′ ( . 2 sont continus ; pour pouvoir travailler avec des outils connus, c'est-à-dire des dérivations, mais aussi pour supposer que le champ gravitationnel est continu, on doit supposer qu'ils sont différentiables. , on a, δ c d'où = ) m S g k − T = = {\displaystyle ~\quad {\sqrt {-g}}.g_{ij}.\delta R^{ij}={\sqrt {-g}}.D^{l}\left(g_{ij}.\delta \Gamma _{l}^{ij}-g_{lj}.\delta \Gamma _{i}^{ij}\right)={\sqrt {-g}}.D^{l}A_{l}} ′ i ï¿¿10.1051/jphyscol:1973703ï¿¿. {\displaystyle \ S=-mc\int _{A}^{B}ds} i V − 1 où j L   t On doit à David Hilbert, en 1915, la première utilisation du principe de moindre action pour obtenir les équations de la relativité générale, notamment les équations du champ gravitationnel. i = Or : j Et ainsi de suite avec tous les indices d'un tenseur, suivant leurs positions. j   i 2 g ( x = ; → Afin d'en déterminer la densité lagrangienne, puis les équations, il est nécessaire de développer un peu certaines considérations abordées ci-dessus, et même quelques nouvelles. V   S g )   R = − g g j .   s δ 0 L − D g k j ∂ d i d i est une constante liée au choix des unités : pour les unités MKSA, on prend R = − R − On doit à David Hilbert, en 1915, la première utilisation du principe de moindre action pour obtenir les équations de la relativité générale, notamment les équations du champ gravitationnel[1]. c ∂ Plus particulièrement, il va choisir le chemin qui minimise la quantité appelée action. F ∫ x k )   j x ( ) i j 2 i ] {\displaystyle \ g^{ij}} l d l g i . x On a : = i {\displaystyle \ R=0} l En relativité restreinte, comme la trajectoire dans l'espace-temps ne dépend pas du référentiel par rapport auquel on l'observe, l'action qui la détermine doit … A   j m g Γ . j + R j Ω g Ce dossier donne un aperçu de sa naissance (par la confrontation entre gravitation et principe de relativité… i = L {\displaystyle \delta \Gamma _{l}^{ij}=\Gamma _{l}^{ij}-\left(\Gamma _{l}^{ij}\right)'} ˙ = l i V ( x i j ( E n relativité générale, le vecteur moment cinétique du gyroscope est transporté parallèlement le long de la géodésique correspondant à la trajectoire du satellite. x i i ( d 2 ( J 0 2 − D La relativité générale est une théorie relativiste de la gravitation, c'est-à-dire qu'elle décrit l'influence sur le mouvement des astres de la présence de matière et, plus généralement d'énergie, en tenant compte des principes de la relativité restreinte. j S ) i j , on obtient Γ δ ( i i ) Le principe d'équivalence permet de dire qu'un champ gravitationnel réel (non dû au choix du référentiel) est aussi déterminé par la métrique R DEA. RELATIVITÉ GÉNÉRALE par David SÉNÉCHAL Ph.D., Professeur Titulaire UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE Faculté des sciences Département de physique (26 septembre 2020) Unethéorie est avanttout faite delamanièredontelleestpensée,dontelleestcomprise, dont elle est interprétée, bref, … {\displaystyle \delta S_{g}=K.\int \delta \left({\sqrt {-g}}.g_{ij}.R^{ij}\right)d\Omega } = Ω j d − l {\sqrt {g^{ij}dx_{i}.dx_{j}}}-e.A^{j}.dx_{j}} A chacune de ces étapes, j’exposerai les structures mathématiques que l’on associe à cet espace-temps en essayant d’expliquer pourquoi nous avons été obligé de changer de conception. k L g R V k Λ i i D s g R g = Catégorie : Relativité Générale Création : 3 novembre 2018 Mis à jour : 17 novembre 2018 Affichages : 1491 Vote ... Dans ce cadre, on exprime l'action S du système comme l'intégrale sur le paramètre λ du lagrangien L défini ci-dessous: avec x.μ représentant la "vitesse" par rapport au paramètre λ. − + Chapitre 6. j i x = {\displaystyle \ ds={\sqrt {g^{ij}dx_{i}dx_{j}}}} δ j ∂ l Ω = moindre action” : ... de la relativité générale, il subsiste au contraire le terme en u2, qui décrit correctement les observations expérimentales.   K 1 ( ) 1916 : réecriture des équations de la relativité générale par Hilbert. x d   Γ = Γ c Chapitre 6. V V + 2 = {\displaystyle \ K}   d j − L d A l − A On a : j i j = D’abord encensée, puis oubliée, et redécouverte, l’histoire de cette théorie centenaire a marqué l’histoire scientifique du XXème siècle. = j j A l R ∂ x Page du cours de relativité générale Ce cours a été donné de 2005 à 2014 en 2e année du Master Recherche Astronomie et Astrophysique de l'Observatoire de Paris et des Universités Paris 6, 7 et 11 (UE FC5). . est une constante du champ par rapport aux changements de référentiels. Ω , exprimé sous la forme « on peut toujours trouver un référentiel annulant localement le champ de gravitation », permet de retrouver directement les équations du mouvement d'une particule ; et l'unicité de la forme du tenseur g…   B d d Pour la relativité générale, comme pour la relativité restreinte, les équations peuvent être obtenues sans faire appel au principe de moindre action : le principe d'équivalence, exprimé sous la forme « on peut toujours trouver un référentiel annulant localement le champ de gravitation », permet de retrouver directement les équations du mouvement d'une particule ; et l'unicité de la forme du tenseur géométrique qui s'annule par la dérivée covariante, unicité prouvée par Élie Cartan[2], permet de trouver les équations du champ de gravitation, ce qui fut la méthode originelle d'Einstein (bien que l'unicité en question ne fût pas encore prouvée à l'époque). ′ d g i i | i INTRODUCTION 2. V − k Einstein élabore donc une théorie "relativiste" de la gravitation, appelée relativité générale, qu'il met au point jusqu'en 1915. {\displaystyle ds^{2}=g^{ij}dx_{i}dx_{j}=g'^{kl}dx'_{k}dx'_{l}\to \ g^{kl}={\frac {\partial x'_{i}}{\partial x_{k}}}. k {\displaystyle \ T=g^{ij}T_{ij}} δ La page suivante résume des concepts de base de la théorie de la relativité restreinte (expérience de Michelson-Morley) et générale … {\displaystyle \delta \left(R^{ij}\right)=\partial ^{l}\delta \Gamma _{l}^{ij}-\partial ^{i}\delta \Gamma _{l}^{lj}=D^{l}\delta \Gamma _{l}^{ij}-D^{i}\delta \Gamma _{l}^{lj}}, − δ | 0 Γ i i   g i = En considérant un temps k d {\displaystyle \ d\Omega '=dx'_{0}.dx'_{1}.dx'_{2}.dx'_{3}=J.dx_{0}.dx_{1}.dx_{2}.dx_{3}}. Action relativiste. {\displaystyle \Gamma _{k}^{ij}.V_{j}=\partial ^{j}V_{i}\to \delta \Gamma _{k}^{ij}.V_{j}=\Gamma _{l}^{ij}.V_{j}-\left(\Gamma _{l}^{ij}\right)'.V_{j}=\partial ^{j}V_{i}-\left(\partial ^{j}V_{i}\right)'} i d . 2 {\displaystyle \ {\frac {d~~}{dt_{0}}}{\frac {\partial L_{0}}{\partial V_{k}}}\ -\ {\frac {\partial L_{0}}{\partial x_{k}}}\ =\ 0~~} . x Le principe variationnel est appliqué en faisant varier les termes de la métrique En termes mathématiques, l'espace quadri-dimensionnel défini par les considérations ci-dessus est une variété C2 où les quadri-vitesses sont des vecteurs appartenant à l'espace vectoriel tangent au point où on a dérivé, cet espace vectoriel étant muni de la métrique